Inhaltsverzeichnis Topologie
Vorlesung 1 (11.04.2016): Metrische Räume, Stetigkeit, induzierte Topologie und Eigenschaften. Topologische Räume.
Vorlesung 2 (13.04.2016): Gröber und feiner Topologie, Umgebungen, Stetige Abbildungen, Homöomorphismus, Basis einer Topologie.
Vorlesung 3 (18.04.2016): Eigenschaften einer Basis, Teilraumtopologie, die disjunkte Vereinigung von Topologischen Räumen, das Produkt von Topologischen Räumen.
Vorlesung 4 (20.04.2016): Offene und abgeschlossene Abbildungen. Projektionsabbildungen (Stetigkeit). Abgeschlossene Mengen, Innere und Rand einer Teilmenge.
Vorlesung 5 (25.04.2016): Abschluss einer Teilmenge, Häufungspunkte. Kompaktheit, Satz: jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
Vorlesung 6 (27.04.2016): Satz: das Bild eines kompakten Raumes ist kompakt. Hausdorffraum. Satz: Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffaumes ist abgeschlossen. Satz: jede Abbildung von einem kompakten Raum bis einem Hausdorffraum ist abgeschlossen. Äquivalenzrelation.
Vorlesung 7 (02.05.2016): Quotientenraum als topologischer Raum und Eigenschaften. Beispiele: der Kreis und die Sphäre als Quotientenräumen.
Vorlesung 8 (04.05.2016): der Zylinder, der Torus, das Möbiusband, die Kleinsche Flasche und die Flächen von höherem Geschlecht
als Quotientenräumen. Das Verkleben von topologischen Räumen. Der Kegel über einem top. Raum.
Vorlesung 9 (09.05.2016): Die Suspension eines top. Raumes. Mannigfaltigkeiten: Definition und Beispiele. Insbesondere, die n- dimensionale Sphäre und der reel-projective Raum (Definition).
Vorlesung 10 (11.05.2016): Satz: der reel-projective Raum ist eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Vorlesung 11 (23.05.2016): Gruppenoperationen und Beispiele, Quotientenraum (oder Bahnenraum). Lemma: die Projektion ist eine offene Abbildung. Diskrete Gruppenoperationen.
Vorlesung 12 (25.05.2016): Zusammenhängende Topologische Räume. Lemma (äquivalente Definitionen). Satz: eine Teilmenge I von R ist zusammenhängende genau dann, wenn I ein Intervall ist. Satz: das Bild eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend und Korollar. Wegzusammenhängender topologischer Raum. Lemma: Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang. Korollar: R und R^2 sind nicht homöomorph.
Vorlesung 13 (30.05.2016): Wegzusammenhängende Komponenten. Definition von \pi_0. Homotopien (rel. zu A) und induzierte Äquivalenzrelation.
Vorlesung 14 (01.06.2016): Homotopieäquivalente topologische Räume und Beispiele. Kontrahierbare topologische Räume. Äquivalenz von Wegen relativ {0,1} und Eigenschaften. Schleifen mit Basispunkt x. Satz über das Produkt von Schleifen und die homotopie rel. {0,1}. Definition der Fundamentalgruppe mit Basispunkt x als Menge. Korollar: die Fundamentalgruppe hat eine Gruppe Strukture. Nullhomotope Schleifen.
Vorlesung 15 (06.06.2016): Beispiele von topologischen Räumen mit trivialer Fundamentalgruppe. Satz: Unabhängigkeit der Fundamentalgruppe vom Basispunkt in derselben Wegzusammenkomponent. Definition der Fundamentalgruppe. Einfach zusammenhängender topologischer Räume. Funktorialität der Fundamentalgruppe. Beziehung der Fundamentalgruppen unter Homotopien.
Vorlesung 16 (08.06.2016): Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Die Fundamentalgruppe von S^1 (Liftungslemma, Liftung der Homotopie und Satz über den Isomorphismus mit (Z,+)).
Vorlesung 17 (13.06.2016): Retraktion und Retrakt eines topologischen Raumes. Korollar: S^1 ist kein Retrakt von D^2. Satz: Fixpunktsatz von Brouwer. Korollar: eine Matrix mit positiven Koeffizienten hat einen positiven Eigenwert. Fundamentalsatz der Algebra. Satz von Borsuk-Ulam in dim. 2: Folgerungen.
Vorlesung 18 (15.06.2016): Satz von Borsuk-Ulam: Beweis. Das freie Produkt von Gruppen und Eigenschaften.
Vorlesung 19 (20.06.2016): Satz von Seifert-van Kampen (wenn der Schnitt einfachzusammenhängend ist).
Vorlesung 20 (22.06.2016): Präsentationen von Gruppen. Kommutatoruntergruppe. Das amalgamierte Produkt.
Vorlesung 21 (27.06.2016): Satz von Seifert-van Kampen (allgemein - Surjektivität und Beweisskizze der Injektivität). Korollar: Fundamentalgruppe der n-dimensionalen Sphäre, n >= 2. Übung.
Vorlesung 22 (29.06.2016): die Fundamentalgruppe der kompakten Flächen (in der Vorlesung: S^2, der Torus, der projective Raum RP^2).
Vorlesung 23 (04.07.2016): CW Struktur auf X. Beispiele: X=S^2, RP^n, CP^n. Überlagerungen: Definition und Beispiele. Satz: Liftung der Homotopie.
Vorlesung 24 (06.07.2016): Überlagerungen II. Sätze: Injektivität der Fundamentalgruppe, Anzahl des Urbild = Index der Untergruppe, Liftung einer stetigen Abbildung, Eindeutigkeit der Liftung.
Vorlesung 25 (11.07.2016): Satz: Existenz der einfachen zusammenhängenden Überlagerung.
Vorlesung 26 (13.07.2016): Galois Korrespondenz (Existenz und Eindeutigkeit).
Vorlesung 27 (18.07.2016): Decktransformationen und Beispiele.
Vorlesung 28 (20.07.2016): Übungen (Vorbereitung für die Klausur).