Inhaltsverzeichnis Topologie

 

Vorlesung 1 (11.04.2016):  Metrische Räume, Stetigkeit, induzierte Topologie und Eigenschaften. Topologische Räume.

 

Vorlesung 2 (13.04.2016): Gröber und feiner Topologie, Umgebungen, Stetige Abbildungen, Homöomorphismus, Basis einer Topologie.

 

Vorlesung 3 (18.04.2016): Eigenschaften einer Basis, Teilraumtopologie, die disjunkte Vereinigung von Topologischen Räumen, das Produkt                                               von Topologischen Räumen.

 

Vorlesung 4 (20.04.2016): Offene und abgeschlossene Abbildungen. Projektionsabbildungen (Stetigkeit). Abgeschlossene Mengen, Innere                                                 und Rand einer Teilmenge.

 

Vorlesung 5 (25.04.2016): Abschluss einer Teilmenge, Häufungspunkte. Kompaktheit, Satz: jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten                                             Raumes ist kompakt.

 

Vorlesung 6 (27.04.2016): Satz: das Bild eines kompakten Raumes ist kompakt. Hausdorffraum. Satz: Eine kompakte Teilmenge eines                                                         Hausdorffaumes ist abgeschlossen.  Satz: jede Abbildung von einem kompakten Raum bis einem Hausdorffraum                                               ist abgeschlossen. Äquivalenzrelation.

 

Vorlesung 7 (02.05.2016): Quotientenraum als topologischer Raum und Eigenschaften. Beispiele: der Kreis und die Sphäre als                                                                       Quotientenräumen. 

 

Vorlesung 8 (04.05.2016): der Zylinder, der Torus, das Möbiusband, die Kleinsche Flasche und die Flächen von höherem Geschlecht 

                                            als Quotientenräumen. Das Verkleben von topologischen Räumen. Der Kegel über einem top. Raum.

 

Vorlesung 9 (09.05.2016): Die Suspension eines top. Raumes. Mannigfaltigkeiten: Definition und Beispiele. Insbesondere, die n-                                                                  dimensionale Sphäre und der reel-projective Raum (Definition).

Vorlesung 10 (11.05.2016): Satz: der reel-projective Raum ist eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit.

Vorlesung 11 (23.05.2016): Gruppenoperationen und Beispiele,  Quotientenraum (oder Bahnenraum). Lemma: die Projektion ist eine offene                                               Abbildung. Diskrete Gruppenoperationen.

Vorlesung 12 (25.05.2016): Zusammenhängende Topologische Räume. Lemma (äquivalente Definitionen). Satz: eine Teilmenge I von R ist                                                     zusammenhängende genau dann, wenn I ein Intervall ist. Satz: das Bild eines zusammenhängenden Raumes ist                                                 zusammenhängend und Korollar. Wegzusammenhängender topologischer Raum. Lemma: Wegzusammenhang                                                 impliziert Zusammenhang. Korollar: R und R^2 sind nicht homöomorph.

Vorlesung 13 (30.05.2016): Wegzusammenhängende Komponenten. Definition von \pi_0. Homotopien (rel. zu A) und induzierte                                                                     Äquivalenzrelation. 

Vorlesung 14 (01.06.2016): Homotopieäquivalente topologische Räume und Beispiele. Kontrahierbare topologische Räume. Äquivalenz von                                                 Wegen relativ {0,1} und Eigenschaften. Schleifen mit Basispunkt x. Satz über das Produkt von Schleifen und die                                                   homotopie rel. {0,1}. Definition der Fundamentalgruppe mit Basispunkt x als Menge. Korollar: die                                                                           Fundamentalgruppe hat eine Gruppe Strukture. Nullhomotope Schleifen.

 

Vorlesung 15 (06.06.2016): Beispiele von topologischen Räumen mit trivialer Fundamentalgruppe. Satz: Unabhängigkeit der                                                                           Fundamentalgruppe vom Basispunkt in derselben Wegzusammenkomponent. Definition der                                                                                   Fundamentalgruppe. Einfach zusammenhängender topologischer Räume. Funktorialität der                                                                                   Fundamentalgruppe. Beziehung der Fundamentalgruppen unter Homotopien. 

Vorlesung 16 (08.06.2016): Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Die Fundamentalgruppe                                                   von S^1 (Liftungslemma, Liftung der Homotopie und Satz über den Isomorphismus mit (Z,+)).

Vorlesung 17 (13.06.2016): Retraktion und Retrakt eines topologischen Raumes. Korollar: S^1 ist kein Retrakt von D^2. Satz: Fixpunktsatz                                                     von Brouwer. Korollar: eine Matrix mit positiven Koeffizienten hat einen positiven Eigenwert. Fundamentalsatz                                                   der Algebra. Satz von Borsuk-Ulam in dim. 2: Folgerungen.

Vorlesung 18 (15.06.2016): Satz von Borsuk-Ulam: Beweis. Das freie Produkt von Gruppen und Eigenschaften.

Vorlesung 19 (20.06.2016): Satz von Seifert-van Kampen (wenn der Schnitt einfachzusammenhängend ist).

Vorlesung 20 (22.06.2016): Präsentationen von Gruppen. Kommutatoruntergruppe. Das amalgamierte Produkt.

Vorlesung 21 (27.06.2016): Satz von Seifert-van Kampen (allgemein - Surjektivität und Beweisskizze der Injektivität). Korollar:                                                                           Fundamentalgruppe der n-dimensionalen Sphäre, n >= 2. Übung.

Vorlesung 22 (29.06.2016): die Fundamentalgruppe der kompakten Flächen (in der Vorlesung: S^2, der Torus, der projective Raum RP^2).

Vorlesung 23 (04.07.2016): CW Struktur auf X. Beispiele: X=S^2, RP^n, CP^n. Überlagerungen: Definition und Beispiele. Satz: Liftung der                                                         Homotopie. 

 

Vorlesung 24 (06.07.2016): Überlagerungen II. Sätze: Injektivität der Fundamentalgruppe, Anzahl des Urbild = Index der Untergruppe,                                                           Liftung einer stetigen Abbildung, Eindeutigkeit der Liftung.  

Vorlesung 25 (11.07.2016): Satz: Existenz der einfachen zusammenhängenden Überlagerung. 

Vorlesung 26 (13.07.2016): Galois Korrespondenz (Existenz und Eindeutigkeit).

Vorlesung 27 (18.07.2016): Decktransformationen und Beispiele.

Vorlesung 28 (20.07.2016): Übungen (Vorbereitung für die Klausur).

Prof. SILVIA SABATINI

Ph.D.

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