Inhaltsverzeichnis EDG WS 2022/23
Vorlesung 1 (11.10.2022): Raum R^n mit euklidischen Skalarprodukt, induzierte Norm und Metrik (Abstandfunktion). Isometrien. Orthogonale und spezielle orthogonale Gruppe. Parametrisierte Kurve, Beispiele (Strecke, Gerade, Ellipse und Schraubenlinie). Reguläre parametrisierte Kurve, Diffeomorphismus und Umparametrisierung. Definition einer Kurve (Seiten 26-31 vom Buch "EDG", von C. Bär)
Vorlesung 2 (14.10.2022): Orientierte Kurve, Länge einer Kurve, nach Bogenlänge Parametrisierung, Existenz von nach Bogenlänge Parametrisierungen. (Seiten 30-37 vom Buch "EDG" (Proposition 2.1.18 ohne Beweis, ohne Lemma 2.1.14), von C. Bär). Satz: "Die Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei verschiedenen Punkten".
Vorlesung 3 (18.10.2022): Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigung, Beschleunigungsvektor, Krümmung Ebener Kurven (Formel für nach Bogenlänge Parametrisierung) (Lemma 2.1.14 und Seiten 40 und 41). Formel für die Krümmung für eine allgemeine reguläre Kurve. Geometrische Bedeutungen der Krümmung. Gleichung des Kreises, der am besten die Kurve approximiert.
Vorlesung 4 (21.10.2022): Frenet Gleichungen (Proposition 2.2.4). Windungszahl und Liftungslemma (Lemma 2.2.5 Seiten 43 und 44).
Vorlesung 5 (25.10.2022): Umlaufzahl. Umlaufzahl als Integral der Krümmung. Sternformige Menge und Liftungslemma II. Umlaufsatz (Satz von Hopf) für eine einfache geschlossene orientierte Kurve in R^2. (Seiten 44 --> 52).
Vorlesung 6 (28.10.2022): Konvexe ebene Kurven. Verbindung zwischen Konvexität und Krümmung. Übungen: Kurven in Polarkoordinaten (Seiten 52 -->55)
Vorlesung 7 (04.11.2022): Die isoperimetrische Ungleichung in R^2. Krümmung von Kurven in R^n. Kurven in R^3, der Binormalenvektor. Das begleitende Dreibein und die Torsion (Seiten 61 --> 67)
Vorlesung 8 (08.11.2022): Frenet Gleichungen in R^3, Zusammenfassung über Gewöhnliche Differentialgleichungen: Satz von Picard-Lindelöf (ohne Beweis). Hauptsatz der Raumkurventheorie. (Seiten 67--> 72)
11.11.2022: Keine Vorlesung
Vorlesung 9 (15.11.2022): Satz (Fenchel) (Seiten 86-87), Satz der impliziten Funktion (ohne Beweis). Parametrisierung einer Kurve von impliziten Gleichungen.
Vorlesung 10 (18.11.2022): Reguläre Flächen: Definition und Beispiele (Affine Ebenen, Funktionsgraphen, die Sphäre). Satz: Fläche als Nullstelle. (Seiten 92 --> 98). Satz der Umkehrabbildung (ohne Beweis) und Folgerungen.
Vorlesung 11 (22.11.2022): Glatte Abbildungen zwischen regulären Flächen. Die Tangentialebene (Seiten 101 --> 107).
Vorlesung 12 (25.11.2022): Proposition 3.2.4, das Differential (Definition 3.2.6. und Proposition 3.2.7) (Seiten 107 --> 110).
Vorlesung 13 (29.11.2022): Die erste Fundamentalform und Beispiele (Seiten 110 --> 115)
Vorlesung 14 (02.12.2022): Normalenfelder und Orientierbarkeit (Seiten 115 --> 119).
Vorlesung 15 (06.12.2022): Die Weingarten-Abbildung, die zweite Fundamentalform und die Normalkrümmung (119 --> 123)
Vorlesung 16 (09.12.2022): Normalkrümmung, Satz von Meusnier, geometrische Bedeutung der Normalkrümmung (123 --> 126)
Vorlesung 17 (13.12.2022): Hauptkrümmungen, Hauptkrümmungsrichtungen, Euler Formel, Beispiele. Gauß-Krümmung und mittlere Krümmung und Beispiele. (127 --> 129)
Vorlesung 18 (16.12.2022): Elliptische, hyperbolische, parabolische und flach - Punkte. Lokale Gestalt einer Fläche. (130 --> 138)
Vorlesung 19 (20.12.2022): Satz 3.6.17 (Seite 138 --> 140). Innere Geometrie von Flächen, (lokale) Isometrien (164 --> 167).
Vorlesung 20 (10.01.2023): Rechnung auf Flächen: Vektorfelder, der Gradientvektorfeld (und Darstellung in lokalen Koordinaten), Richtungsableitung. Lie-Klammer. (Seiten 167 --> 170)
Vorlesung 21 (13.01.2023):
Vorlesung 22 (17.01.2023):
Vorlesung 23 (20.01.2023):
Vorlesung 24 (24.01.2023):
Vorlesung 25 (27.01.2023):
Vorlesung 26 (31.01.2023):
Vorlesung 27 (03.02.2023):