Inhaltsverzeichnis EDG

 

Vorlesung 1 (19.10.2015): Raum R^n mit euklidischen Skalarprodukt, induzierte Norm und Metrik (Abstandfunktion). Isometrien. Orthogonale und spezielle orthogonale Gruppe. Parametrisierte Kurve, Beispiele (Strecke, Gerade, Ellipse und Schraubenlinie). Reguläre Kurve, Diffeomorphismus und Umparametrisierung. (Seiten 26-29 vom Buch "EDG", von C. Bär)

 

Vorlesung 2 (21.10.2015): Kurve und orientierte Kurve, Länge einer Kurve, nach Bogenlänge Parametrisierung, Existenz von nach Bogenlänge Parametrisierungen. (Seiten 30-37 vom Buch "EDG" (Proposition 2.1.18 ohne Beweis, ohne Lemma 2.1.14), von C. Bär)  

 

Vorlesung 3 (26.10.2015): Satz "Die Strecke ist die kürzeste Weg zwischen zwei distinkten Punkten". Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigung, Beschleunigungsvektor, Krümmung Ebener Kurven (Formel für nach Bogenlänge Parametrisierung) (Lemma 2.1.14 und Seiten 40 und 41).

 

Vorlesung 4 (28.10.2015): Formel für die Krümmung für eine allgemeine reguläre Kurve. Geometrische Bedeutungen der Krümmung. Gleichung des Kreises, der am besten die Kurve approximiert. Frenet Gleichungen (Proposition 2.2.4). 

 

Vorlesung 5 (02.11.2015):  Übung. Umlaufzahl einer geschlossenen ebenen Kurve (Lemma 2.2.5 Seiten 43 und 44).

 

Vorlesung 6 (04.11.2015): Liftungslemma. Windungszahl und Umlaufzahl. Umlaufzahl als Integral von der Krümmung. Sternformige Menge und Liftungslemma II. (Seiten 44 --> 50)

 

Vorlesung 7 (09.11.2015): Umlaufsatz für eine einfache geschlossene orientierte Kurve in R^2. Verbindung zwischen Konvexität und Krümmung. (Seiten 50 -->54)

 

Vorlesung 8 (11.11.2015): Verbindung zwischen Konvexität und Krümmung II, Übungen: Kurven in Polarkoordinaten (Satz 2.2.15, bis Seite 55).  

 

Vorlesung 9 (16.11.2015): Isoperimetrische Ungleichung. Krümmung von Kurven in R^n. Kurven in R^3, der Binormalenvektor. (Seiten 61 --> 67)

 

Vorlesung 10 (18.11.2015): das begleitende Dreibein, die Torsion, Satz: Frenet Gleichungen in R^3, Übung, Gewöhnliche Differentialgleichungen: Satz (Picard-Lindelöf), ohne Beweis. (Seiten 67--> 69)

 

Vorlesung 11 (23.11.2015): Hauptsatz der Raumkurventheorie. Satz (Fenchel). (Seiten 69 -->72 und 86-87)

 

Vorlesung 12 (25.11.2015): Satz von der implitizen Funktion (ohne Beweis). Parametrisierung einer Kurve von impliziten Gleichungen. 

 

Vorlesung 13 (30.11.2015): Reguläre Flächen: Definition und Beispiele (Affine Ebenen, Funktionsgraphen, die Sphäre). Satz: Fläche wie eine Nullstelle. (Seiten 92 --> 97) 

 

Vorlesung 14 (02.12.2015): Satz der Umkehrabbildung (ohne Beweis) und Folgerungen. Glatte Abbildungen zwischen regulären Flächen. (Seiten 98 --> 101)

 

Vorlesung 15 (07.12.2015): Glatte Abbildungen zwischen regulären Flächen. Die Tangentialebene (Seiten 101 --> 107).

 

Vorlesung 16 (09.12.2015): Proposition 3.2.4, das Differential (Definition 3.2.6. und Proposition 3.2.7) (Seiten 107 --> 110).

 

Vorlesung 17 (14.12.2015): Die erste Fundamentalform, Normalenfelder und Orientierbarkeit (Seiten 110 --> 119).

 

Vorlesung 18 (16.12.2015): Die Weingarten-Abbildung und die zweite Fundamentalform, die Krümmung (Seiten

119 -->126).

 

Vorlesung 19 (21.12.2015): Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen, Krümmungslinie, Gauß und mittlere Krümmung, elliptisch-hyperbolisch-parabolisch-Flachpunkt (Seiten 127 --> 131). 

 

Vorlesung 20 (11.01.2016): Lokale Gestalt einer Fläche. (Seiten 132 --> 138).  

 

Vorlesung 21 (13.01.2016): Satz:"Sei S eine kompakte Fläche. Dann besitzt Punkte mit Gauß-Krümmung positive". Innere Geometrie von Flächen: Lokale Isometrien, Isometrien. Rechnung auf Flächen: Vektorfelder, der Gradientvektorfeld (und Darstellung in lokalen Koordinaten), Richtungsableitung. (Satz 3.6.17 Seite 138 --> 140, Seiten 164 --> 168).

 

Vorlesung 22 (18.01.2016): Lie-Klammer, Kovariante Ableitung längs einer Kurve. Darstellung in lokalen Koordinaten und Christoffel-Symbole. (Seiten 169 --> 173).

 

Vorlesung 23 (20.01.2016): Satz: "Die Kovariante Ableitung ist eine Größe der inneren Geometrie". Übung: Christoffel Symbole der Sphäre, bzgl. sphärische Koordinaten. Kovariante Ableitung, Definition. (Seiten: 173 -->175).

 

Vorlesung 24 (25.01.2016): Kovariante Ableitung: Eigenschaften. Zweite Kovariante Ableitung, Eigenschaften und lokale Darstellung (ohne Beweis). Der riemannsche Krümmungstensor. (Seiten: 175 --> 179).

 

Vorlesung 25 (27.01.2016): Satz: "Gauß-Gleichung". Theorema Egregium. Symmetrien des Krümmungstensors. Krümmungstensors als Funktion von der Gauß-Krümmung. (Seiten: 179 --> 183). 

 

Vorlesung 26 (01.02.2016): Riemannsche Metrik, und zugehörige Definition von Christoffel-Symbole, Kovariante Abbildung, zweite Kovariante Abbildung, riemannsche Krümmungstensor und Gauß-Krümmung. Beispiel: der "glatte" Torus. (Seiten: 184 -->186).

 

Vorlesung 27 (03.02.2016): Prüfungsvorbereitung (für alle)!