Dieses Seminar richtet sich an Studierende des 7. Semesters (mit Ausnahme von ein oder zwei möglichen Vorträgen, die sich auch an Studierende des 5. Semesters richten könnten), die die Vorlesungen “Elementare Differentialgeometrie” und “Topologie” schon gehört haben. 

 

Ziel des Seminars ist eine Einführung in die Morse-Theorie für endliche dimensionale Mannigfaltigkeiten. Diese Theorie stellt eine Verbindung zwischen der Topologie der Mannigfaltigkeit und den Eigenschaften spezieller glatter Funktionen auf der Mannigfaltigkeit (die Morse-Funktionen genannt werden) her, wobei man topologische Eigenschaften der Mannigfaltigkeit von den kritischen Punkten der Funktion erhalten kann und, vice versa, die Topologie der Mannigfaltigkeit Beschränkungen über die möglichen Morse-Funktionen bestimmt.   

 

Falls das Seminar, das als Blockveranstaltung angeboten wird, im Februar 2021 nicht als Präsenzseminar durchgeführt werden kann, ist eine Seminararbeit vorgesehen, die die Studierenden als pdf-Datei vor Ende des Semesters einreichen müssen.
 

Die Literatur besteht im Buch von Yukio Matsumoto "An Introduction to Morse Theory” (Translations of Mathematical Monographs, Vol. 208)-American Mathematical Society (2001), und so werden die Vorträge geteilt (Abschnitte und Seiten vom obigen Buch):

 

1) Kapitel 1* (Maximum zwei Vorträge) 

* Das ist für Studenten des fünften Semesters geeignet. Wenn es keinen Studenten vom fünften Semester gibt, dann wird dieses Kapitel weggelassen.

 

2) Abschnitte 2.1 and 2.2 (a) (Seiten 33–43)

2.1 Manifolds of dimension m 

2.2 (a) Morse functions on m manifolds 

 

2) Abschnitte 2.2 (b) and (c) (Seiten 44–56)

2.2 (b) Morse lemma for manifolds 

2.2 (c) Existence of Morse functions 

 

3) Abschnitte 2.3 und 2.4 (Seiten 56–71) 

Gradient-like vector fields:

(a) Tangent vectors, (b) Vector fields, 

(c) Gradient-like vector fields 

Raising and lowering critical points

 

4) Abschnitt 3.1 (Seiten 73 — 83) 

Handle composition of manifolds 

 

5) Abschnitt 3.2 (Seiten 83 —96, ohne Beispiel 3.13)

Examples 

 

6) Abschnitt 3.2, Beispiel 3.13, (Seiten 96—105) 

Unitary group U(m)

 

7) Abschnitt 3.3 (Seiten 105 — 120)

Sliding handles 

 

8) Abschnitt 3.4 (Seiten 120 — 131)

Canceling handles 

 

9) Abschnitt 4.1 (Seiten 133 —141)

Homology groups

 

10) Abschnitt 4.2 (Seiten 141 — 148) 

Morse inequalities

 

12) Abschnitt 4.3 (Seiten 148 — 158 )

 Poincaré duality

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Zusätzliche Literatur
“Morse Theory” von J. Milnor 

“Algebraic Topology” von A. Hatcher 

 

Interessierte Studenten sollten mich eine E-Mail schicken (sabatini@math.uni-koeln.de) und sagen,  ob Sie fünftes oder siebtens Semesters sind, und ob die Vorlesungen “Elementare Differentialgeometrie” und “Topologie” schon gehört haben.