Inhaltsverzeichnis Topologie
Vorlesung 1 (09.04.2018): Metrische Räume, Stetigkeit, induzierte Topologie und Eigenschaften. Topologische Räume.
Vorlesung 2 (11.04.2018): Gröber und feiner Topologie, Umgebungen, Stetige Abbildungen, Homöomorphismus, Basis einer Topologie.
Vorlesung 3 (16.04.2018): Eigenschaften einer Basis, Teilraumtopologie, die disjunkte Vereinigung von Topologischen Räumen, das Produkt von Topologischen Räumen.
Vorlesung 4 (18.04.2018): Offene und abgeschlossene Abbildungen. Projektionsabbildungen (Stetigkeit). Abgeschlossene Mengen, Innere und Rand einer Teilmenge.
Vorlesung 5 (23.04.2018): Abschluss einer Teilmenge, Häufungspunkte. Kompaktheit, Satz: jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. Satz: das Bild eines kompakten Raumes ist kompakt.
Vorlesung 6 (25.04.2018): Hausdorff-Raum. Satz: Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffaumes ist abgeschlossen. Satz: jede Abbildung von einem kompakten Raum nach einem Hausdorffraum ist abgeschlossen. Äquivalenzrelation.
Vorlesung 7 (30.04.2018): Quotientenraum als topologischer Raum und Eigenschaften. Beispiele: der Kreis, die Sphäre, der Zylinder, der Torus und das Möbiusband als Quotientenräumen.
Vorlesung 8 (02.05.2018): die Kleinsche Flasche und die orientierbaren Flächen von höherem Geschlecht als Quotientenräumen. Das Verkleben von topologischen Räumen. Der Kegel und die Suspension über einen top. Raum. Mannigfaltigkeiten.
Vorlesung 9 (07.05.18): Beispiele von Mannigfaltigkeiten: der Torus, orientierbare Fläche von Geschlecht g, die Sphäre und der reell- projektive Raum.
Vorlesung 10 (09.05.18): Der reell-projektive Raum als Quotient der Sphäre. Gruppenoperationen: Definition, Eigenschaften und Beispiele, Quotientenraum (oder Bahnenraum).
Vorlesung 11 (14.05.18): Lemma: die Projektion ist eine offene Abbildung. Diskrete Gruppenoperationen. Zusammenhängende Topologische Räume. Lemma (äquivalente Definitionen). Satz (ohne Beweis): eine Teilmenge I von R ist zusammenhängende genau dann, wenn I ein Intervall ist. Satz: das Bild eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend und Korollar. Wegzusammenhängender topologischer Raum. Lemma: Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang.
Vorlesung 12 (16.05.18): Korollar: R und R^2 sind nicht homöomorph. Wegzusammenhängende Komponenten. Definition von \pi_0. Homotopien (rel. zu A) und induzierte Äquivalenzrelation.
Vorlesung 13 (28.05.18): Homotopieäquivalente topologische Räume und Beispiele. Kontrahierbare topologische Räume. Äquivalenz von Wegen relativ {0,1} und Eigenschaften. Schleifen mit Basispunkt x. Satz über das Produkt von Schleifen und die Homotopie rel. {0,1}. Definition der Fundamentalgruppe mit Basispunkt x als Menge. Korollar: die Fundamentalgruppe hat eine Gruppe Strukture. Nullhomotope Schleifen.
Vorlesung 14 (30.05.18): Beispiele von topologischen Räumen mit trivialer Fundamentalgruppe. Satz: Unabhängigkeit der Fundamentalgruppe vom Basispunkt in derselben Wegzusammenkomponent. Definition der Fundamentalgruppe. Einfach zusammenhängender topologischer Räume. Funktorialität der Fundamentalgruppe. Beziehung der Fundamentalgruppen unter Homotopien.
Vorlesung 15 (04.06.18): Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Die Fundamentalgruppe von S^1 (Liftungslemma, Liftung der Homotopie und Satz über den Isomorphismus mit (Z,+)).
Vorlesung 16 (06.06.18): Retraktion und Retrakt eines topologischen Raumes. Korollar: S^1 ist kein Retrakt von D^2. Satz: Fixpunktsatz von Brouwer. Korollar: eine Matrix mit positiven Koeffizienten hat einen positiven Eigenwert. Fundamentalsatz der Algebra. Satz von Borsuk-Ulam in dim. 2: Folgerungen.
Vorlesung 17 (11.06.18): Satz von Borsuk-Ulam: Beweis. Das freie Produkt von Gruppen und Eigenschaften.
Vorlesung 18 (13.06.18): Satz von Seifert-van Kampen (wenn der Schnitt einfachzusammenhängend ist).
Vorlesung 19 (18.06.18): Präsentationen von Gruppen. Kommutatoruntergruppe. Das amalgamierte Produkt. Satz von Seifert-van Kampen (allgemein Subjektivität. Fundamentalgruppe der Sphären S^n, n>=2.
Vorlesung 20 (20.06.18): Satz von Seifert-van Kampen (Injektivität). Übungen (Insbesondere Beispiel 1.23 Seite 46 im Buch von Hatcher).
Vorlesung 21 (25.06.18): Fundamentalgruppe von S^n, n>=2 (Proposition 1.14 im Buch von Hatcher). Die Fundamentalgruppe der kompakten Flächen
Vorlesung 22 (27.06.18): CW Struktur auf X. Beispiele: X=S^2, RP^n, CP^n.
Vorlesung 23 (02.07.18): Überlagerungen: Definition und Beispiele. Satz: Liftung der Homotopie.
Vorlesung 24 (04.07.18): Sätze: Injektivität der Fundamentalgruppe, Anzahl des Urbild = Index der Untergruppe.
Vorlesung 25 (09.07.18): Keine Vorlesung (Institut gesperrt)
Vorlesung 26 (11.07.18): Liftung einer stetigen Abbildung, Eindeutigkeit der Liftung.
Vorlesung 27 (16.07.18): Satz: Existenz der einfachen zusammenhängenden Überlagerung.
Vorlesung 28 (18.07.18): Galois Korrespondenz (Existenz und Eindeutigkeit).