Inhaltsverzeichnis Topologie

 

Vorlesung 1 (09.04.2018):  Metrische Räume, Stetigkeit, induzierte Topologie und Eigenschaften. Topologische Räume.

 

Vorlesung 2 (11.04.2018): Gröber und feiner Topologie, Umgebungen, Stetige Abbildungen, Homöomorphismus, Basis einer Topologie.

 

Vorlesung 3 (16.04.2018): Eigenschaften einer Basis, Teilraumtopologie, die disjunkte Vereinigung von Topologischen Räumen, das Produkt                                               von Topologischen Räumen.

 

Vorlesung 4 (18.04.2018): Offene und abgeschlossene Abbildungen. Projektionsabbildungen (Stetigkeit). Abgeschlossene Mengen, Innere                                                 und Rand einer Teilmenge.

 

Vorlesung 5 (23.04.2018): Abschluss einer Teilmenge, Häufungspunkte. Kompaktheit, Satz: jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten                                             Raumes ist kompakt. Satz: das Bild eines kompakten Raumes ist kompakt.

 

Vorlesung 6 (25.04.2018): Hausdorff-RaumSatz: Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffaumes ist abgeschlossen.  Satz: jede Abbildung                                               von einem kompakten Raum nach einem Hausdorffraum ist abgeschlossen. Äquivalenzrelation.

Vorlesung 7 (30.04.2018): Quotientenraum als topologischer Raum und Eigenschaften. Beispiele: der Kreis, die Sphäre, der Zylinder, der                                                     Torus und das Möbiusband als Quotientenräumen. 

Vorlesung 8 (02.05.2018): die Kleinsche Flasche und die orientierbaren Flächen von höherem Geschlecht als Quotientenräumen. Das                                                        Verkleben von topologischen Räumen.  Der Kegel und die Suspension über einen top. Raum. Mannigfaltigkeiten.

Vorlesung 9 (07.05.18): Beispiele von Mannigfaltigkeiten: der Torus, orientierbare Fläche von Geschlecht g, die Sphäre und der reell-                                                      projektive Raum. 

Vorlesung 10 (09.05.18): Der reell-projektive Raum als Quotient der Sphäre. Gruppenoperationen: Definition, Eigenschaften                                                                                         und Beispiele, Quotientenraum (oder Bahnenraum).

Vorlesung 11 (14.05.18): Lemma: die Projektion ist eine offene Abbildung. Diskrete Gruppenoperationen.​ Zusammenhängende Topologische Räume.                                             Lemma (äquivalente Definitionen). Satz (ohne Beweis): eine Teilmenge I von R ist zusammenhängende genau dann, wenn I                                               ein Intervall ist. Satz: das Bild eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend und Korollar.                                                                                Wegzusammenhängender topologischer Raum. Lemma: Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang.

 

Vorlesung 12 (16.05.18): Korollar: R und R^2 sind nicht homöomorph. Wegzusammenhängende Komponenten. Definition von \pi_0. Homotopien (rel.                                          zu A) und induzierte Äquivalenzrelation. 

Vorlesung 13 (28.05.18): Homotopieäquivalente topologische Räume und Beispiele. Kontrahierbare topologische Räume. Äquivalenz von                                                                   Wegen relativ {0,1} und Eigenschaften. Schleifen mit Basispunkt x. Satz über das Produkt von Schleifen und die                                                                     Homotopie rel. {0,1}. Definition der Fundamentalgruppe mit Basispunkt x als Menge. Korollar: die Fundamentalgruppe hat                                               eine Gruppe Strukture. Nullhomotope Schleifen.

Vorlesung 14 (30.05.18): Beispiele von topologischen Räumen mit trivialer Fundamentalgruppe. Satz: Unabhängigkeit der Fundamentalgruppe vom                                               Basispunkt in derselben Wegzusammenkomponent. Definition der Fundamentalgruppe. Einfach zusammenhängender                                                     topologischer Räume. Funktorialität der Fundamentalgruppe. Beziehung der Fundamentalgruppen unter Homotopien. 

Vorlesung 15 (04.06.18):  Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Die Fundamentalgruppe                                                                    von S^1 (Liftungslemma, Liftung der Homotopie und Satz über den Isomorphismus mit (Z,+)).

Vorlesung 16 (06.06.18):  Retraktion und Retrakt eines topologischen Raumes. Korollar: S^1 ist kein Retrakt von D^2. Satz: Fixpunktsatz                                                                        von Brouwer. Korollar: eine Matrix mit positiven Koeffizienten hat einen positiven Eigenwert. Fundamentalsatz                                                                    der Algebra. Satz von Borsuk-Ulam in dim. 2: Folgerungen.

Vorlesung 17 (11.06.18):  Satz von Borsuk-Ulam: Beweis. Das freie Produkt von Gruppen und Eigenschaften.

Vorlesung 18 (13.06.18):  Satz von Seifert-van Kampen (wenn der Schnitt einfachzusammenhängend ist).

Vorlesung 19 (18.06.18):  Präsentationen von Gruppen. Kommutatoruntergruppe. Das amalgamierte Produkt. Satz von Seifert-van Kampen (allgemein                                           Subjektivität.  Fundamentalgruppe der Sphären S^n, n>=2.

Vorlesung 20 (20.06.18): Satz von Seifert-van Kampen (Injektivität). Übungen (Insbesondere Beispiel 1.23 Seite 46 im Buch von Hatcher). 

Vorlesung 21 (25.06.18): Fundamentalgruppe von S^n, n>=2 (Proposition 1.14 im Buch von Hatcher). Die Fundamentalgruppe der kompakten Flächen

Vorlesung 22 (27.06.18): CW Struktur auf X. Beispiele: X=S^2, RP^n, CP^n.

Vorlesung 23 (02.07.18): Überlagerungen: Definition und Beispiele. Satz: Liftung der Homotopie. 

Vorlesung 24 (04.07.18): Sätze: Injektivität der Fundamentalgruppe, Anzahl des Urbild = Index der Untergruppe.

Vorlesung 25 (09.07.18): Keine Vorlesung (Institut gesperrt)

Vorlesung 26 (11.07.18):  Liftung einer stetigen Abbildung, Eindeutigkeit der Liftung.  

Vorlesung 27 (16.07.18): Satz: Existenz der einfachen zusammenhängenden Überlagerung.

Vorlesung 28 (18.07.18):  Galois Korrespondenz (Existenz und Eindeutigkeit).

Prof. SILVIA SABATINI

Ph.D.

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