Inhaltsverzeichnis EDG 17/18
Vorlesung 1 (09.10.2017): Raum R^n mit euklidischen Skalarprodukt, induzierte Norm und Metrik (Abstandfunktion). Isometrien. Orthogonale und spezielle orthogonale Gruppe. Parametrisierte Kurve, Beispiele (Strecke, Gerade, Ellipse und Schraubenlinie). Reguläre Kurve, Diffeomorphismus und Umparametrisierung. (Seiten 26-29 vom Buch "EDG", von C. Bär)
Vorlesung 2 (11.10.2017): Kurve und orientierte Kurve, Länge einer Kurve, nach Bogenlänge Parametrisierung, Existenz von nach Bogenlänge Parametrisierungen. (Seiten 30-37 vom Buch "EDG" von C. Bär (Proposition 2.1.18 ohne Beweis, ohne Lemma 2.1.14)). Satz "Die Strecke ist die kürzeste Weg zwischen zwei distinkten Punkten".
Vorlesung 3 (16.10.2017): Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigung, Beschleunigungsvektor, Krümmung Ebener Kurven (Formel für nach Bogenlänge Parametrisierung) (Lemma 2.1.14 und Seiten 40 und 41). Formel für die Krümmung einer allgemeinen regulären ebenen Kurve. Erste geometrische Bedeutung der Krümmung.
Vorlesung 4 (18.10.2017): Gleichung des Kreises, der am besten die Kurve in einem Punkt approximiert. Frenet Gleichungen (Proposition 2.2.4). Übung. Umlaufzahl einer geschlossenen ebenen Kurve (Lemma 2.2.5 Seiten 43 und 44).
Vorlesung 5 (23.10.2017): Liftungslemma. Windungszahl und Umlaufzahl. Umlaufzahl als Integral von der Krümmung. Sternformige Menge und Liftungslemma II. (Seiten 44 --> 50)
Vorlesung 6 (25.10.2017): Umlaufsatz: Umlaufzahl einer einfach geschlossenen orientierten Kurve in R^2.
Übung: Kurven in Polarkoordinaten. Verbindung zwischen Konvexität und Krümmung I (Seiten 50 -->54)
Vorlesung 7 (30.10.17): Verbindung zwischen Konvexität und Krümmung II (Satz 2.2.15, bis Seite 55). Isoperimetrische Ungleichung I.
Vorlesung 8 (06.11.17): Isoperimetrische Ungleichung: Beweis. Krümmung von Kurven in R^n. Kurven in R^3, der Binormalenvektor (Seiten 61 --> 67), das begleitende Dreibein, die Torsion, Satz: Frenet Gleichungen in R^3
Vorlesung 9 (08.11.17): Gewöhnliche Differentialgleichungen: Satz (Picard-Lindelöf), ohne Beweis. Hauptsatz der Raumkurventheorie (Seiten 67--->72).
Vorlesung 10 (13.11.17): Satz (Fenchel). Satz von der implitizen Funktion (ohne Beweis). Parametrisierung einer Kurve von impliziten Gleichungen (Seiten 86-87).
Vorlesung 11 (15.11.17): Reguläre Flächen: Definition und Beispiele (Affine Ebenen, Funktionsgraphen, die Sphäre). Satz: Fläche als Nullstelle. (Seiten 92 --> 97)
Vorlesung 12 (20.11.17): Satz der Umkehrabbildung (ohne Beweis) und Folgerungen. Glatte Abbildungen zwischen regulären Flächen. (Seiten 98 --> 101)
Vorlesung 13 (22.11.17): Glatte Abbildungen zwischen regulären Flächen. Die Tangentialebene (Seiten 101 --> 107).
Vorlesung 14 (27.11.17): Proposition 3.2.4, das Differential (Definition 3.2.6. und Proposition 3.2.7) (Seiten 107 --> 110).
Vorlesung 15 (29.11.17): Die erste Fundamentalform, Normalenfelder (Seiten 110--> 116).
Vorlesung 16 (04.12.17): Orientierbarkeit (Seiten 117--> 119).
Vorlesung 17 (06.12.17): Die Weingarten-Abbildung und die zweite Fundamentalform, die Krümmung (Seiten 119 -->126).
Vorlesung 18 (11.12.17): Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen, Krümmungslinie, Gauß und mittlere Krümmung, elliptisch-hyperbolisch-parabolisch-Flachpunkt (Seiten 127 --> 131).
Vorlesung 19 (13.12.17): Lokale Gestalt einer Fläche. (Seiten 132 --> 138).
Vorlesung 20 (18.12.17): Satz:"Sei S eine kompakte Fläche. Dann besitzt Punkte mit Gauß-Krümmung positive". Innere Geometrie von Flächen: Lokale Isometrien. (Satz 3.6.17 Seite 138 --> 140)
Vorlesung 21 (20.12.17): Rechnung auf Flächen: Vektorfelder, der Gradientvektorfeld (und Darstellung in lokalen Koordinaten), Richtungsableitung. (Seiten 164 --> 168). Lie Klammer.
Vorlesung 22 (08.01.18): Kovariante Ableitung längs einer Kurve. Darstellung in lokalen Koordinaten und Christoffel-Symbole. (Seiten 169 --> 173). Satz: "Die Kovariante Ableitung ist eine Größe der inneren Geometrie".
Vorlesung 23 (10.01.18): Übung: Christoffel Symbole der Sphäre, bzgl. sphärische Koordinaten. Kovariante Ableitung, Definition. (Seiten: 173 -->175). Kovariante Ableitung: Eigenschaften. Zweite Kovariante Ableitung, Eigenschaften.
Vorlesung 24 (15.01.18): Lokale Darstellung der zweiten Kovarianten Ableitung (ohne Beweis). Der riemannsche Krümmungstensor. (Seiten: 175 --> 179). Satz: "Gauß-Gleichung". Theorema Egregium.
Vorlesung 25 (17.01.18): Symmetrien des Krümmungstensors. Krümmungstensors als Funktion von der Gauß-Krümmung. (Seiten: 179 --> 183). Riemannsche Metrik und zugehörige Definition von Christoffel-Symbole und Kovariante Ableitung.
Vorlesung 26 (22.01.18): Zweite Kovariante Ableitung und Gauß-Krümmung. Beispiel (Torus). Zurückgezogene Metrik. Länge einer Kurve und Energie (bzgl. einer riemannscher Metrik). Proposition (im Buch Lemma 4.5.3). Satz (Variation der Energie), Lemma 4.5.4. (Seiten 184 --> 189)
Vorlesung 27 (24.01.18): Beweis des Satzes der Variation der Energie. Geodäte: Definition und Eigenschaften. Geodäten in lokalen Koordinaten. Satz (lokale Existenz und Eindeutigkeit der Geodäten), ohne Beweis. (Seiten 189--> 195)